La courbure peut-être nulle (géométrie euclidienne : Σ des angles d'un triangle = 180°) , positive (elliptique : Σ des angles > 180°) ou négative (géométrie hyperbolique : Σ des angles < 180°).
Si la courbure est positive, l'espace est elliptique et nécessairement fini (hypershère). Si la courbure est négative l'espace est hyperbolique, si la courbure est nulle l'espace est eucliden, dans ces deux cas l'espace peut-être fini ou infini selon le modèle topologique. La topologie peut-être monoconnexe (c'est à dire d'un seul tenant) ou multiconnexe (c'est à dire avec des "trous").
Pour les surfaces euclidiennes, seul le plan euclidien est monoconnexe, le cylindre, le tore (plat), le ruban de Möbius et la bouteille de Klein sont multiconnexes. Pour les surfaces elliptiques, la sphère est monoconnexe. Les surfaces hyperboliques peuvent être monoconnexe (plan de Lobatchevski) ou multiconnexes.
Les choses se compliquent lorsque l'on passe à trois dimensions.
L'espace 3D euclidien monoconnexe est infini dans toutes les directions, les variantes multiconnexes sont au nombre de dix-huit, huit sont des espaces ouverts (volume infini) et dix sont fermés (volume fini) dont l'hypertore. L'espace elliptique monoconnexe est l'hypershère, les variantes multiconnexes sont innombrables et toutes fermées dont le dodécaèdre de Poincaré (formé de 12 pentagones réguliers) avec un volume 120 fois plus petit que celui de l'hypersphère. Pour les espaces hyperboliques, un seul est monoconnexe, l'espace de Lobatchevski infini dans toutes les directions.
Dans un univers monoconnexe, un seul des rayons émis par un objet nous parvient, celui qui emprunte le plus court chemin entre l'objet et nous, et donne une image unique que nous voyons. Dans un univers muliticonnexe, les rayons empruntent une multitude de trajets possibles produisant une image différente.
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